Это интересно!

                 Дроби в Древнем Египте. Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3, 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела. Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼. Дроби в Древнем Риме Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. «Асс» делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12… Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т. д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций с половиной. Сейчас «асс» – аптекарский фунт. Вавилонские шестидесятеричные дроби Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н.э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития. Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼ - обозначавшего единицу, и условного знака ◄ - обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè, заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой. Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями. Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с. Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными. Нумерация и дроби в Древней Греции В Древней Греции арифметику — учение об общих свойствах чисел — отделяли от логистики — искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали. В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям — Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например: ГЕNTE (генте или центе) — пять; ЕКА (дека) — десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции. Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним — числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д. Нумерация и дроби на Руси Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв. В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: 1/2 — половина, полтина 1/3 — треть 1/4 — четь 1/6 — полтреть 1/8 — полчеть 1/12 — полполтреть 1/16 — полполчеть 1/24 — полполполтреть (малая треть) 1/32 — полполполчеть (малая четь) 1/5 — пятина 1/7 — седьмина 1/10 — десятина Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I. Дроби в других государствах древности В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями. У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим. Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится, члены первой дроби дополнять множителями. Изучение дробей наукой Средневековья Выдающийся арабский ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (что означает — из Хорезма) жил и работал в IX веке нашей эры в
Багдаде. Тогдашний багдадский правитель халиф аль-Мамун почитал ученость и покровительствовал наукам. По его повелению в Багдаде был построен «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией, и в эту, по нашим нынешним понятиям, академию собрались почти все крупные ученые арабского халифата. Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми был среди тех ученых, которым халиф поручил переводы греческих математических трудов, измерение
дуги меридиана и ряд других научных работ. Его перу принадлежат много книг по математике и астрономии. Его арифметический труд был одним из источников, по которым, впоследствии Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления: аль-Хорезми разъяснил в ней индийскую систему записи чисел и изложил правила письменного счета в этой системе. Арабский оригинал этой книги утерян, но сохранился латинский перевод XII века. Имя автора, в латинской транскрипции «Алгоризми», привело к появлению в языке математики слова «алгоритм», первоначально означавшему нумерацию по десятичной позиционной системе; впоследствии так стали называть труды, способствовавшие распространению в Европе индийского способа счета, а затем, наконец, и сам этот счет. В конечном итоге слово «алгоритм» стало обозначать совсем другое. Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в средние века и независимо от них — в древнем Китае. Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины. Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму. Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1лан = 10цянь = 102фэнь = 103ли = 104хао = 105сы = 106хо. Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае, как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, но, конечно, шестидесятеричные. Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В европейскую же практику десятичные дроби ввел Симон Стевин. Выдающийся фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) — один из «универсальных гениев» эпохи Возрождения. Труды Стевина посвящены самым разнообразным вопросам современных ему математики, механики и физики. Но наибольшую славу ему принесла небольшая книжка «Десятая», изданная в 1585 году в Лейдене. В ней автор выступил популяризатором десятичных дробей. Подробно поясняя технику выполнения арифметических операций с десятичными дробями, он всячески подчеркивает простоту излагаемого материала: «...Может же недалекий умом деревенский медведь по счастливой случайности набрести на дорогой клад, не применив при этом никакой учености!» «Десятая» получила широкую известность в Европе. На французский язык она была переведена в том же 1585 году самим автором. На английском языке она появилась в 1608 году. Джованни Антонио Маджини (1555-1617)был профессором университета в Болонье. Он использовал десятичную запятую в таблицах своей книги «Плоские треугольники», изданной в 1592 году в Венеции. Швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) был сначала часовщиком и механиком, помогал строить и ремонтировать астрономические инструменты, а затем помогал Кеплеру в обработке астрономических наблюдений и других вычислениях. В 1592 году он составил таблицу синусов и написал руководство по арифметике. В них он систематически применял десятичные дроби. В 1616 году Кеплер писал о нем: «..так как часто будут получаться дроби, а мне желательно пользоваться короткими числами, то заметь, что все цифры, стоящие после знака 0,принадлежат дроби в качестве числителя, знаменателя же к ней не пишут, но он всегда есть — круглое десятичное число со столькими нулями, сколько цифр стоит после знака...» Такой вид вычислений с дробями придумал Иост Бюрги... Благодаря этому с целыми числами и с дробью при всех основных действиях можно обращаться как с одним числом. Имя великого ученого — астронома, физика и математика — Иоганна Кеплера (1571-1630) известно сейчас любому школьнику. При исследовании движения планет ему приходилось проводить колоссальную вычислительную работу, и он пользовался десятичными дробями, о которых узнал от Бюрги. В 1603 году франкфуртский врач Иоганн Гартман Бейер (1563-1625) выпустил сочинение «Десятичная логистика», где писал: «...я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают ее в целых числах одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к дробям, точно так же астрономы измеряют величины не только в градусах, но и в долях градуса, т. е. минутах, секундах и т. п.; но мне кажется, что их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей и т. д., потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы их ввести вместо шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода вычислений». Профессор математики и астрономии в Лондоне и Оксфорде Генри Бриггс (1561-1631) совместно с Непером разработал систему десятичных логарифмов и выпустил первые таблицы их. Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) знаменит как изобретатель логарифмов «палочек Непера» — простого приспособления для умножения многозначных чисел. В книге «Рабдология», вышедшей в 1617 году, незадолго до его смерти, он использовал десятичную запятую. В другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», вышедшей после его смерти, но написанной много раньше, он рекомендует использовать десятичную точку. Хотя «знаковая фантазия» не иссякла еще и в XVIII веке, основная борьба велась уже между десятичной точкой и десятичной запятой. Эти знаки появились почти одновременно. Непер, колеблясь между ними, использовал оба знака. Распространение понятия «дроби» в XV — XVI столетиях В XV — XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках. Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало — зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики. До тех пор каждый, кто сталкивался с нецелыми числами, должен был возиться с числителями и знаменателями... Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти — основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер. Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям: · основой общей системы мер должна быть единица длины; · меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой; · основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»; · основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления. Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями. Во-первых, чтобы складывать, вычитать или перемножать такие дроби, не нужно никаких специальных правил вроде столь мучительного поиска общего знаменателя, которым приходится то и дело заниматься, складывая обыкновенные дроби. Все они уже приведены к общему знаменателю десять. Во-вторых, сделать из обыкновенной дробную десятичную ничего не стоит, дели себе числитель на знаменатель, пока не разделится без остатка, да записывай после запятой цифры результата... Вот тут-то и подстерегает неприятность. Подавляющее число таких делений не заканчивается никогда! Если делить, скажем, десять на три, мы будем снова и снова получать все ту же тройку... Выход есть — остановиться, убедившись, что остатки повторяются, и сказать: «10 делить на 3 — это 3 и 3 в периоде». Можно доказать, что любая обыкновенная дробь после перевода в десятичную либо когда-нибудь оборвется (при делении выскочит нулевой остаток), либо будет иметь период... Вот только период этот может оказаться очень и очень длинным! Попробуйте-ка вычислить период такой простой с виду дроби, как 1/49. В нем ровнехонько 42 цифры! Можно придумать и число, в котором периода нет. Оно не будет получаться из обыкновенной дроби, но ничто не запрещает ему существовать. Такие числа — иррациональные. Но практическим нуждам все эти тонкости совершенно не мешают. Кому может понадобиться длина веревки или даже размер детали сложного механизма с точностью до сорок второго знака после запятой, если даже размер электрона (в метрах!) отличается от нуля уже в семнадцатом знаке? Разумеется, в жизни просто округляют бесконечную десятичную дробь до конечной, а дальше с ней легко работать... Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Со времени появления «Новой арифметики» Г. Бёклера (1661) в математических книгах, издаваемых в Германии, укоренилась десятичная запятая. Постепенно она прочно утвердилась в континентальной Европе, тогда как в англоязычных странах предпочитают десятичную точку, причем в Англии ее сейчас ставят в середине строки: 14'382, а вСША — внизу: 14.382, (В качестве знака умножения в англоязычных странах обычно применяют «косой крест» х.)